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平面方程是用一个方程来表示平面#xff0c;平面上的所有点代入方程#xff0c;方程都成立。因为用法的不同#xff0c;平面方程一般有四种表现形式。
一般式
设 n ⃗ ( A , B , C ) \vec n(A,B,C) n (A,B,C) 为平… 文章目录 平面方程一般式截距式点法式法线式 平面方程
平面方程是用一个方程来表示平面平面上的所有点代入方程方程都成立。因为用法的不同平面方程一般有四种表现形式。
一般式
设 n ⃗ ( A , B , C ) \vec n(A,B,C) n (A,B,C) 为平面的法线 p 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) p_0(x_0, y_0, z_0) p0(x0,y0,z0) 、 p ( x , y , z ) p(x, y, z) p(x,y,z) 为平面上两点。我们知道两个垂直向量的点乘为0则平面的法线和平面上两点组成向量的点乘也为0则 n ⃗ ∗ p 0 p → 0 \vec n * \overrightarrow {p_0p} 0 n ∗p0p 0 , 可以得出 n ⃗ ∗ ( p − p 0 ) 0 n ⃗ ∗ p − n ⃗ ∗ p 0 0 由于 n ⃗ 和 p 0 已知设常数 D − n ⃗ ∗ p 0 , 则 n ⃗ ∗ p D 0 A ∗ x B ∗ y C ∗ z D 0 \vec n * (p - p_0) 0 \\ \vec n * p - \vec n * p_0 0 \\ 由于\vec n和p_0已知设常数D -\vec n * p_0,则 \\ \vec n * p D 0 \\ A*xB*yC*zD0 n ∗(p−p0)0n ∗p−n ∗p00由于n 和p0已知设常数D−n ∗p0,则n ∗pD0A∗xB∗yC∗zD0 平面的一般式为 A ∗ x B ∗ y C ∗ z D 0 A*xB*yC*zD0 A∗xB∗yC∗zD0其中 ( A , B , C ) (A, B, C) (A,B,C)为平面的法线 − D -D −D为原点 o ( 0 , 0 , 0 ) o(0,0,0) o(0,0,0)到平面的垂直距离 n ⃗ ∗ p 0 n ⃗ ∗ o p 0 → \vec n * p_0 \vec n * \overrightarrow {op_0} n ∗p0n ∗op0 为 o p 0 → \overrightarrow {op_0} op0 在 n ⃗ \vec n n 方向上的投影距离。
截距式
现在已知平面的一般式为 A ∗ x B ∗ y C ∗ z D 0 A*xB*yC*zD0 A∗xB∗yC∗zD0
设 a − D / A , b − D / B , c − D / C a-D/A,b-D/B,c-D/C a−D/A,b−D/B,c−D/C, 则 A − D / a , B − D / b , c − D / C A-D/a,B-D/b,c-D/C A−D/a,B−D/b,c−D/C, 原式可改为 − D a ∗ x − D b ∗ y − D c ∗ z D 0 − D ∗ ( 1 a ∗ x 1 b ∗ y 1 c ∗ z ) D 0 1 a ∗ x 1 b ∗ y 1 c ∗ z 1 -\frac{D}{a}*x-\frac{D}{b}*y-\frac{D}{c}*zD0 \\ -D*(\frac{1}{a}*x\frac{1}{b}*y\frac{1}{c}*z)D0 \\ \frac{1}{a}*x\frac{1}{b}*y\frac{1}{c}*z1 \\ −aD∗x−bD∗y−cD∗zD0−D∗(a1∗xb1∗yc1∗z)D0a1∗xb1∗yc1∗z1 平面的截距式为 1 a ∗ x 1 b ∗ y 1 c ∗ z 1 \frac{1}{a}*x\frac{1}{b}*y\frac{1}{c}*z1 a1∗xb1∗yc1∗z1其中 a , b , c a,b,c a,b,c分别为平面与xyz轴的交点。
点法式
已知平面的法线 n ⃗ \vec n n 和平面上的两点 p 、 p 0 p、p_0 p、p0 ,求平面的方程。和上面一般式的求取过程是一样的只不过得到的最后的表达方式不同。 n ⃗ ∗ ( p − p 0 ) 0 A ∗ ( x − x 0 ) B ∗ ( y − y 0 ) C ∗ ( c − c 0 ) 0 \vec n * (p - p_0) 0 \\ A*(x-x_0)B*(y-y_0)C*(c-c_0)0 n ∗(p−p0)0A∗(x−x0)B∗(y−y0)C∗(c−c0)0 平面的点法式为 A ∗ ( x − x 0 ) B ∗ ( y − y 0 ) C ∗ ( c − c 0 ) 0 A*(x-x_0)B*(y-y_0)C*(c-c_0)0 A∗(x−x0)B∗(y−y0)C∗(c−c0)0其中 ( A , B , C ) (A, B, C) (A,B,C)为平面的法线 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0) 为平面上的一点。
法线式
已知平面的法线和原点到平面的距离求平面的方程。法线式和一般式几乎是一样的。 n ⃗ ( A , B , C ) \vec n(A,B,C) n (A,B,C) 那么 n ⃗ \vec n n 与xyz三个坐标轴的余弦值是多少呢
设 n ⃗ \vec n n 与xyz的夹角分别为 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ 则 cos α ( A , B , C ) ∗ ( 1 , 0 , 0 ) A cos β ( A , B , C ) ∗ ( 0 , 1 , 0 ) B cos γ ( A , B , C ) ∗ ( 0 , 0 , 1 ) C 则 cos α ∗ x cos β ∗ y cos γ ∗ z D 0 设 p − D , 得 cos α ∗ x cos β ∗ y cos γ ∗ z p \cos \alpha(A,B,C)*(1,0,0)A \\ \cos \beta(A,B,C)*(0,1,0)B \\ \cos \gamma(A,B,C)*(0,0,1)C \\ 则\cos \alpha*x\cos \beta*y\cos \gamma*zD0 \\ 设p-D,得 \cos \alpha*x\cos \beta*y\cos \gamma*zp cosα(A,B,C)∗(1,0,0)Acosβ(A,B,C)∗(0,1,0)Bcosγ(A,B,C)∗(0,0,1)C则cosα∗xcosβ∗ycosγ∗zD0设p−D,得cosα∗xcosβ∗ycosγ∗zp 平面的法线式为 cos α ∗ x cos β ∗ y cos γ ∗ z p \cos \alpha*x\cos \beta*y\cos \gamma*zp cosα∗xcosβ∗ycosγ∗zp 其中 ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma) (cosα,cosβ,cosγ) 为平面的法线 p p p 为原点离平面的垂直距离。
