网站建设后商品进不去详情页,中企动力做网站 知乎,网站内链优化策略,做网站的哪家好目录 一、介绍 二、梯子问题 三、结论 四、一个额外的例子 一、介绍 让我们想象一个半径为 5 的圆#xff0c;以 xy 平面为中心。现在假设我们想在点 #xff08;3,4#xff09; 处找到一条切线到圆的斜率。 好吧#xff0c;为了做到这一点#xff0c;我们必须非常接近圆和… 目录 一、介绍 二、梯子问题 三、结论 四、一个额外的例子 一、介绍 让我们想象一个半径为 5 的圆以 xy 平面为中心。现在假设我们想在点 3,4 处找到一条切线到圆的斜率。 好吧为了做到这一点我们必须非常接近圆和切线之间的空间并沿着该曲线迈出一小步。该步骤的 y 分量为 dyx 分量为 dx。斜率是 rise over run 或 dy 除以 dx。 与微积分中的其他切线斜率问题不同这条曲线不是函数的图因此我们不能采用简单的导数。x 和 y 不是输入和输出但它们是相互依赖的值。圆的方程称为隐式曲线它是一组 xy 点满足以两个变量表示的一些属性。 如何找到 dy/dx 的过程非常奇怪你对两边都取导数所以对于 x²你会写 2x dxy² 变成 2y dy。右侧常数的导数为零。 这似乎与计算导数的常规方法非常不同。对具有多个变量的表达式进行导数意味着什么为什么 dy 和 dx 是这样写的 如果你盲目地向前移动你会得到 dy/dx 等于 -x/y。因此在坐标为 3,4 的点处该斜率将为负 3 除以 4。这个奇怪的过程称为隐式微分。稍后我们将解释如何进行互操作但首先让我们看看另一个有助于我们实现目标的问题。
二、梯子问题 想象一下一个 5 米长的梯子靠墙支撑梯子的顶部高出地面 4 米。那么根据勾股定理底部必须在 3 米远的地方。 假设梯子正在滑落以至于梯子的顶部每秒下降 1 米。现在的问题是在最初的那一刻底部梯子从墙上移动的速度是多少由于所有这些因素都是相关的我们应该有足够的信息来解决。 第一步是为所有数量命名。从梯子顶部到地面的距离称为 yt。梯子底部与墙壁的距离称为 xt。将这些项联系起来的关键方程是勾股定理 yt² xt² ⁵²。 解决这个问题的一种方法是隔离 xt并根据每秒 1 米的丢包率找出 yt 必须是什么。然后你可以对结果函数进行导数x 相对于时间的变化率。 但是对于同一问题也存在不同的思考方式。方程的左侧是时间 yt² xt² 的函数它恰好等于一个常数这意味着该值不会随着时间的流逝而改变但仍被写为依赖于时间的表达式。这意味着我们可以像任何其他将 t 作为输入的函数一样操作它。这意味着我们可以取这个左侧的导数。这意味着如果经过一点时间一些小的 dt这会导致 y 略微减少x 略微增加。那么这就给我们留下了一个问题xt² yt² 变化了多少 但是对于同一问题也存在不同的思考方式。方程的左侧是时间 yt² xt² 的函数它恰好等于一个常数这意味着该值不会随着时间的流逝而改变但仍被写为依赖于时间的表达式。这意味着我们可以像任何其他将 t 作为输入的函数一样操作它。这意味着我们可以取这个左侧的导数。这意味着如果经过一点时间一些小的 dt这会导致 y 略微减少x 略微增加。那么这就给我们留下了一个问题xt² yt² 变化了多少 我们知道导数应该是 0因为方程等于一个常数。但是当您计算这个导数时您实际上会得到什么呢 xt² 的导数是 xt 的 2 乘以 x 的导数链式法则。2x dx 表示由 x 的某个变化引起的 x 平方变化的大小然后我们除以 dt。同样yt² 的变化速率是 yt 的 2 乘以 y 的导数。 现在这个整个表达式必须等于 0这只是意味着 x² y² 在梯子移动时不应该改变。在时间 t 等于 0 的起点高度 yt 为 4 米距离 xt 为 3 米。由于梯子的顶部每秒下降 1 米因此导数 dy/dt 为每秒 -1 米。这提供了足够的信息来隔离 dx/dt。 当你计算时dx/dt 结果是每秒 4/3 米。
三、结论 我解释这个梯子问题的原因是我希望你把它比作求一条切线到一个圆的斜率的问题。在这两种情况下我们都有 x² y² ⁵² 的方程。此外在这两种情况下我们最终都采用了表达式的每一侧的导数。但是对于梯子问题表达式是时间的函数因此取导数具有明确的含义表达式随时间变化而变化的速率。 但让圆示例奇怪的是导数不是说 dt 已经过去了少量时间这会导致 x 和 y 发生变化而是只有这些自由浮动的轻推dx 和 dy它们与时间等公共变量无关。 让我们以一种很好的方式考虑这个问题。假设 x² y² 等于 S。S 是两个变量x 和 y的函数。它获取平面上的每一个点 xy 并将其与一个数字相关联。对于圆上的点该数字恰好是 25。如果您离开圆圈该值会更大。对于更靠近原点的其他点 xy该数字会更小。取 S 的导数意味着考虑这两个变量的微小变化一些微小的变化 dy 到 y一些微小的变化 dx 到 x不一定让你留在圆圈里它可以在任何方向。从那里你问 S 的值变化了多少 微移之前和之后的 S 值之差称为 dS。 现在让我们看看这张图片 在这张图片中我们可以看到我们从 x 等于 3 且 y 等于 4 的点开始。假设 dx 为 -0.02dy 为 -0.01。 S 的减少该步骤中 x² y² 的变化量由上面的等式表示。这就是这个衍生词的真正含义。请务必注意这是一个近似值对于较小的微移它会变得越来越真实。这里的关键点是当你把自己限制在圆上的点上时你基本上是在说你想确保 S 的值不会改变它从值 25 开始你想保持它在那里也就是 dS 应该是 0。将 2x dx 2y dy 设置为 0 是使这些微小步骤保持在圆圈上的条件。同样这只是一个近似值更准确地说它使您保持在圆的切线上但对于足够小的步长它们本质上是相同的。
四、一个额外的例子
表达式 x² y² ⁵² 没有什么特别之处所以让我们也考虑一下表达式 sinxy² x。 这些曲线表示 sinx 时间 y² 的值恰好等于 x 值的所有点 xy。现在想象一下使用组件 dx dy 迈出一些小步骤而不是一个不一定让您保持在曲线上的步骤。 对这个方程的每一侧进行导数就可以告诉我们在步骤中该侧的值发生了多少变化。当我们使用乘积规则对每一方进行导数时我们得到的是 将这些边设置为彼此相等是一种说法无论坐标 dx 和 dy 是什么步长如果它要使我们保持在曲线上那么左手边和右边的值必须变化相同的量这是原始方程 sinxy² x 保持为真的唯一方式。 从这里开始根据你要解决的问题你可以用代数的方式处理一些东西。最常见的目标通常是找到 dy 除以 dx。
